Konya Kadınhanı’nda doğdu. Babası hayır sever bir tüccar olan Ahmed Hamdi Bey, annesi Âdile Hanım’dır. Dedesinin babası Topbaşzâde Ahmed Kudsi Efendi (ö. 1889), Hâlid el-Bağdâdî’nin halifelerinden Bozkırlı Muhammed Kudsî (Memiş) Efendi’den hilâfet almış bir âlimdir. Doğduğu yıl ailesi İstanbul’a göç eden Musa Topbaş, Enverpaşa ilk mektebini bitirdikten sonra Kadıköy’deki Fransız Mektebi’ne devam etti; ardından Nuruosmaniye’de bulunan İnkılâp Lisesi’nde iki yıl okuyup bu okuldan ayrıldı. Ailesi dinî eğitim almasını isteyince Elmalılı Muhammed Hamdi Yazır’dan Kur’ân-ı Kerîm, Mustafa Âsım Yörük’ten Arapça ve dinî bilgiler, hattat Hamit Aytaç’tan hüsn-i hat dersleri aldı. Bekir Hâki Yener, Tâhirülmevlevî, Babanzâde Ahmed Naim, Ali Yektâ Saraç ve Ömer Nasuhi Bilmen gibi âlimlerin sohbetlerinden faydalandı. 1950’li yıllarda Said Nursi’nin hizmetinde bulundu. Gençliğinde başladığı kumaş ticareti işini babasının 1944’te vefatından sonra ağabeyi ve kardeşleriyle birlikte sürdürdü. 1950’de tanışıp sohbetlerine katıldığı Nakşibendî şeyhi Mahmut Sami Ramazanoğlu’na 1956’da intisap etti; 1976’da hilâfet aldı. Şeyhin vefatının (1984) ardından onun irşad vazifesini devam ettirdi. Sevenleri arasında “Sâhibü’l-vefâ” diye anılan Musa Efendi 16 Temmuz 1999’da İstanbul’da vefat etti ve Sahrâyıcedid Mezarlığı’na defnedildi. Musa Topbaş birçok hayır müessesesinin kurulmasında öncülük etmiş, faaliyetlerine destek olmuştur. Kur’an kursu, imam-hatip okulu, cami, huzurevi ve hastahane yapımını teşvik etmiştir. Bazı dostlarını ve evliya türbelerini ziyaret maksadıyla Pakistan, Güney Afrika ve Orta Asya’ya seyahatler yapmıştı. Medîne-i Münevvere’de aylarca ikamet ettiği olurdu. Türkiye’de bulunduğu zamanlar dost ve sevenleriyle sohbet etmek için Anadolu’nun muhtelif şehirlerine seyahatler düzenlerdi.
